di Sergio Mauri

In questo post vedremo come affrontare le equazioni di primo, secondo e terzo grado che, per tutti noi hanno rappresentato o rappresentano ancora un problema se non uno stress psicologico. Soprattutto quando si deve (o doveva) dimostrare, alla lavagna, di saper affrontare la questione. Vedremo di affrontare le difficoltà in modo semplice e discorsivo.

Risolvere un’equazione di primo grado è un processo relativamente semplice. Seguendo alcuni passaggi, puoi trovare il valore dell’incognita che rende l’equazione vera. Ecco una guida su come procedere:

1. Riscrivi l’equazione: Assicurati che l’equazione sia scritta in forma standard, ovvero che sia espressa come una somma o una differenza tra due termini uguali a zero. Ad esempio, se hai un’equazione come 2x + 3 = 7, riscrivila come 2x + 3 – 7 = 0.
2. Semplifica l’equazione: Riduci l’equazione alla sua forma più semplice combinando i termini simili. Nell’esempio sopra, puoi semplificare l’equazione come 2x – 4 = 0.
3. Isola il termine contenente l’incognita: L’obiettivo è ottenere l’incognita (nel nostro caso, “x”) da sola da un lato dell’uguale. Per farlo, esegui le operazioni inverse degli operatori presenti nell’equazione. Nel nostro esempio, puoi ottenere l’equazione 2x = 4.
4. Risolvi per l’incognita: Dividi entrambi i lati dell’equazione per il coefficiente dell’incognita per isolare x. Nel nostro esempio, dividendo entrambi i lati per 2, otteniamo x = 2.
5. Verifica la soluzione: Sostituisci il valore trovato per x nell’equazione originale e verifica se l’uguaglianza è soddisfatta. Nel nostro esempio, sostituisci x con 2 nell’equazione 2x + 3 = 7. Otteniamo 2(2) + 3 = 7, che si traduce in 4 + 3 = 7, che è vero.

Se l’uguaglianza è soddisfatta, hai trovato la soluzione corretta per l’equazione di primo grado. Se l’uguaglianza non è soddisfatta, verifica attentamente i passaggi precedenti per assicurarti di non aver commesso errori durante il processo di risoluzione.

È importante ricordare che questi sono i passaggi di base per risolvere un’equazione di primo grado. In caso di equazioni più complesse, potrebbero essere necessari metodi aggiuntivi o operazioni diverse.

Per risolvere un’equazione di secondo grado, devi seguire alcuni passaggi specifici. Ecco una guida su come procedere:

1. Scrivi l’equazione: Assicurati che l’equazione sia scritta nella sua forma standard, ovvero nella forma ax^2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono coefficienti numerici e x è l’incognita.
2. Determina il discriminante: Calcola il discriminante Δ dell’equazione utilizzando la formula Δ = b^2 – 4ac. Questo valore ti fornirà informazioni sulla natura delle soluzioni dell’equazione.
3. Analizza il discriminante: In base al valore del discriminante Δ, puoi determinare il tipo di soluzioni dell’equazione:

3. Se Δ > 0, l’equazione ha due soluzioni distinte.
4. Se Δ = 0, l’equazione ha una soluzione doppia (o radice doppia).
5. Se Δ < 0, l’equazione non ha soluzioni reali, ma ha soluzioni complesse.

4. Applica la formula delle soluzioni: Utilizza la formula delle soluzioni x = (-b ± √Δ) / (2a) per trovare i valori delle soluzioni dell’equazione. Ricorda che il segno ± indica che ci sono due possibilità, una con il segno più e una con il segno meno.
5. Risolvi l’equazione: Calcola i valori delle soluzioni sostituendo i coefficienti a, b e c nella formula delle soluzioni e svolgendo le operazioni necessarie. Otterrai due soluzioni se Δ > 0, una soluzione se Δ = 0 o nessuna soluzione reale se Δ < 0.
6. Verifica le soluzioni: Sostituisci i valori delle soluzioni ottenute nell’equazione originale per verificarne la correttezza. Le soluzioni dovrebbero soddisfare l’uguaglianza dell’equazione di secondo grado.

Ricorda che, in alcuni casi, le soluzioni possono essere numeri irrazionali o complessi. Se incontri radici quadrate nel calcolo delle soluzioni, assicurati di semplificarle il più possibile.

L’equazione di secondo grado è più complessa rispetto a quella di primo grado; quindi, potrebbe richiedere più passaggi e attenzione nel processo di risoluzione. Assicurati di seguire attentamente i passaggi e verifica sempre le soluzioni ottenute per accertarti della loro correttezza.

Prendiamo l’equazione di secondo grado seguente come esempio:

4x^2 – 9x – 5 = 0

Possiamo seguire i passaggi per risolverla:

1. Scriviamo l’equazione: 4x^2 – 9x – 5 = 0.
2. Calcoliamo il discriminante Δ: Δ = (-9)^2 – 4 * 4 * (-5) = 81 + 80 = 161.
3. Analizziamo il discriminante: Δ = 161 > 0, quindi l’equazione ha due soluzioni distinte.
4. Applichiamo la formula delle soluzioni: x = (-(-9) ± √161) / (2 * 4). Quindi, x = (9 ± √161) / 8.
5. Risolviamo l’equazione: Abbiamo due soluzioni:

5. Soluzione 1: x = (9 + √161) / 8.
6. Soluzione 2: x = (9 – √161) / 8.

6. Verifichiamo le soluzioni: Sostituiamo i valori delle soluzioni nell’equazione originale:

6. Per la soluzione 1: 4((9 + √161) / 8)^2 – 9((9 + √161) / 8) – 5 = 0.
7. Per la soluzione 2: 4((9 – √161) / 8)^2 – 9((9 – √161) / 8) – 5 = 0.

Dopo aver eseguito i calcoli, otterremo i valori specifici delle soluzioni dell’equazione di secondo grado.

Per risolvere un’equazione di terzo grado, è possibile utilizzare diversi metodi, tra cui il metodo di Ruffini o l’utilizzo del teorema di Ferrari. Di seguito, spiegherò il metodo di Ruffini, uno dei più comuni per risolvere equazioni di terzo grado. Tieni presente che questo metodo funziona solo per equazioni con coefficienti razionali.

Ecco una guida su come procedere utilizzando il metodo di Ruffini:

1. Scrivi l’equazione: Assicurati che l’equazione sia espressa nella sua forma standard, ovvero nella forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, dove a, b, c e d sono coefficienti numerici.
2. Trova una soluzione approssimativa: Cerca una soluzione razionale approssimativa dell’equazione. Puoi farlo utilizzando il teorema, del resto, o provando con diversi valori fino a trovare una soluzione che annulli l’equazione. Supponiamo che tu abbia trovato una soluzione razionale x = r.
3. Effettua la divisione sintetica: Utilizzando il metodo di Ruffini, effettua la divisione sintetica dell’equazione per (x – r). Scrivi i coefficienti dell’equazione in una tabella e esegui le operazioni per ottenere il quoziente e il resto.
4. Scrivi l’equazione ridotta: Dopo aver eseguito la divisione sintetica, otterrai un’equazione ridotta di secondo grado. Scrivila come ax^2 + bx + c = 0.
5. Risolvi l’equazione ridotta: Applica il metodo per risolvere un’equazione di secondo grado alla nuova equazione ottenuta. Utilizza la formula quadratica o altri metodi di risoluzione appropriati.
6. Trova le soluzioni complete: Utilizzando la soluzione trovata nell’equazione ridotta, puoi trovare le soluzioni complete dell’equazione di terzo grado. Se la soluzione dell’equazione ridotta è x = s, allora le soluzioni dell’equazione originale sono x = r, x = s ± √(s^2 – 4p/q), dove p e q sono i coefficienti dell’equazione ridotta.

Ricorda che le equazioni di terzo grado possono avere più di una soluzione; quindi, potresti dover ripetere questi passaggi per trovare tutte le soluzioni dell’equazione.

Eccoci, dunque, alla fine di questo post, dove abbiamo visto come risolvere le equazioni di primo, secondo e terzo grado. Spero sia tutto chiaro, se non lo fosse scrivimi pure: admin[at]sergiomauri[dot]info.