di Sergio Mauri
Nel presente post vedremo di chiarire che cos’è la teoria della probabilità di Bayes, matematico e teologo inglese, che ha avuto un notevole successo dalla morte dell’autore, segnando in parte la ricerca scientifica, oggi basata sulla statistica, e la stessa filosofia della scienza.
La teoria bayesiana delle probabilità è una teoria matematica che si basa sul concetto di probabilità condizionata. Essa prende il nome dal matematico inglese Thomas Bayes, che sviluppò la teoria nel XVIII secolo.
In breve, la teoria bayesiana delle probabilità fornisce un modo per calcolare la probabilità di un evento sulla base delle evidenze a nostra disposizione. In particolare, essa ci consente di aggiornare le nostre credenze sulla base di nuove informazioni.
La teoria bayesiana delle probabilità si basa sulla formula di Bayes, che afferma che la probabilità di un’ipotesi H, data una certa evidenza E, può essere calcolata come:
P(H | E) = P(E | H) * P(H) / P(E)
dove P(H | E) rappresenta la probabilità di H dato E, P(E | H) rappresenta la probabilità di E dato H, P(H) rappresenta la probabilità a priori di H (ovvero la nostra credenza su H prima di conoscere E), e P(E) rappresenta la probabilità di E.
In parole semplici, la formula di Bayes ci consente di calcolare la probabilità di un’ipotesi sulla base della probabilità a priori dell’ipotesi e della probabilità dell’evidenza dato l’ipotesi.
La teoria bayesiana delle probabilità ha importanti applicazioni in molti campi, tra cui la statistica, la medicina, l’intelligenza artificiale, la robotica, e la scienza dei dati. Ad esempio, essa viene utilizzata per costruire modelli di previsione del tempo, per diagnosticare malattie, per rilevare frodi, per il riconoscimento del linguaggio naturale e per molte altre applicazioni.
La teoria bayesiana delle probabilità è una teoria che si basa sull’idea di considerare la probabilità come una misura di incertezza. In altre parole, essa ci consente di quantificare il grado di incertezza che abbiamo riguardo ad un certo evento.
In generale, la teoria bayesiana delle probabilità viene utilizzata quando si vuole calcolare la probabilità di un’ipotesi sulla base di alcune evidenze o osservazioni. Ad esempio, consideriamo il seguente esempio:
Supponiamo di avere un test medico che può rilevare la presenza di una malattia. Sappiamo che il test ha una precisione del 95%, ovvero se una persona ha la malattia il test la rileverà correttamente nel 95% dei casi, mentre se una persona non ha la malattia il test darà un risultato negativo nel 95% dei casi. Supponiamo inoltre che la malattia abbia una prevalenza del 1% nella popolazione.
Se una persona si sottopone al test e il risultato è positivo, qual è la probabilità che la persona abbia effettivamente la malattia?
Utilizzando la teoria bayesiana delle probabilità, possiamo calcolare la probabilità che la persona abbia la malattia sulla base del risultato del test e della prevalenza della malattia. In particolare, possiamo applicare la formula di Bayes per calcolare la probabilità a posteriori di avere la malattia dato il risultato del test:
P(malattia|test positivo) = P(test positivo|malattia) * P(malattia) / P(test positivo)
dove P(malattia|test positivo) è la probabilità a posteriori di avere la malattia dato il test positivo, P(test positivo|malattia) è la probabilità che il test dia un risultato positivo se si ha la malattia, P(malattia) è la probabilità a priori di avere la malattia (ovvero la prevalenza della malattia nella popolazione) e P(test positivo) è la probabilità che il test dia un risultato positivo (che può essere calcolata come la somma delle probabilità di avere la malattia e di non averla, entrambe moltiplicate per la probabilità che il test dia un risultato positivo).
Sostituendo i dati del nostro esempio, abbiamo:
P(malattia|test positivo) = 0.95 * 0.01 / (0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99) = 0.161
Quindi, la probabilità che la persona abbia la malattia dato il test positivo è del 16.1%, ovvero relativamente bassa nonostante il test sia risultato positivo.
La teoria bayesiana delle probabilità ha importanti implicazioni filosofiche, in quanto afferma che la probabilità è una misura soggettiva della nostra incertezza, e dipende dalle nostre credenze e dalle informazioni a nostra disposizione. Essa è stata utilizzata per sviluppare approcci innovativi alla statistica e all’intelligenza artificiale (machine learning).
La teoria bayesiana delle probabilità è una teoria matematica che si basa sul concetto di probabilità condizionata, ovvero la probabilità di un evento dato un altro evento. Essa si applica a situazioni in cui vogliamo fare inferenze o previsioni sulla base di un insieme di dati osservati.
La teoria bayesiana si distingue dalla teoria delle probabilità frequentista, che si basa sulla frequenza con cui un evento si verifica in una grande quantità di prove. Invece, la teoria bayesiana si basa sulla probabilità a priori, ovvero la probabilità che un evento si verifichi prima di osservare i dati, e sulla probabilità condizionata, ovvero la probabilità che un evento si verifichi dato un altro evento.
La formula di Bayes, che è la base della teoria bayesiana delle probabilità, ci permette di aggiornare le nostre credenze sulla base di nuove evidenze. Essa ci consente di calcolare la probabilità di un’ipotesi data l’evidenza disponibile, e di modificare la nostra credenza sull’ipotesi sulla base di nuove evidenze.
La teoria bayesiana delle probabilità ha importanti applicazioni in molti campi, tra cui la statistica, la medicina, l’intelligenza artificiale, la robotica e la scienza dei dati. Ad esempio, essa viene utilizzata per costruire modelli di previsione del tempo, per diagnosticare malattie, per rilevare frodi, per il riconoscimento del linguaggio naturale e per molte altre applicazioni.
In sintesi, la teoria bayesiana delle probabilità ci fornisce uno strumento per fare inferenze e previsioni sulla base di dati osservati e di modellizzare il modo in cui le nostre credenze cambiano sulla base di nuove evidenze.
